Gleiche Entfernung zu vier verschiedenen Punkten ermitteln

[Wallraff]

Hallo,

das mit dem Durchspielen kann man tatsächlich haben

http://www.geomidpoint.com/

Ich fand's jetzt erst, mehr als Nebenprodukt einer Suche.
Suche eigentlich Kreuzpeilung + Kalkulation ...

Grüße Wallraff

 

[geometer42]

Zunächst empfiehlt es sich die Frage genau zu überdenken.
Möchtest du:
1.) ,dass alle die gleiche Entfernung zurücklegen (die beliebig groß sein darf) oder
2.) dass die insgesamt gefahrene Strecke möglichst kurz wird?

Zu Frage 1 gibt es keine Lösung, es sei denn, die 4 Punkte liegen zufällig auf einem Kreisbogen (in der Ebene) oder auf einer Kugel (im Raum). Selbst in einem solchen Spezialfall dürfte die Lösung nicht die erwünschte sein: Im Falle der Kugel würde der Treffpunkt im Kugelmittelpunkt liegen. Wenn wir einen Radius von 6370 Km annehmen, muss man ziemlich tief graben (was Wallraff schon richtig bemerkt hat).

Frage 2 führt zu einer Optimierungsaufgabe, die man wie folgt formulieren kann:
Gegeben sind die Punkte P1..P4. Finde einen Punkt M, so dass die Summe der Strecken M-P minimal wird. Der Einfachkeit halber beschränken wir uns auf die Ebene (der Fehler in Folge der Erdkrümmung wird sicher nicht so groß sein).

Falls einer der Punkte weit von den übrigen entfernt liegt, würde ein Treffpunkt nach obiger Regel diesen Punkt stark benachteiligen. Deshalb empfehle ich das zu tun, was C.F.Gauss vor 200 Jahren bei der Bahnbestimmung des Planetoiden Ceres anwandte und was man heute als "Methode der kleinsten Quadrate" bezeichnet: anstatt die Summe zu minimieren, minimieren wir die Summe der Quadrate. Das führt nebenher zu einer schönen Vereinfachung der Formeln.


Die Gleichung für die zu minimierende Strecke lautet:
F(My,Mx)=S1²+S2²+S3²+S4²=min.
mit
S1²=(My-P1y)²+(Mx-P1x)²
S2²=(My-P2y)²+(Mx-P2x)²
S3²=(My-P3y)²+(Mx-P3x)²
S4²=(My-P4y)²+(Mx-P4x)²

Die obige Gleichung stellt eine Funktion von 2 Unbekannten (My,Mx) dar. Das Minimum einer Funktion lässt sich bekanntermaßen berechnen, indem man die Ableitungen nach den Unbekannten bildet und diese zu Null setzt:

dF/dMy=2(My-P1y)+2(My-P2y)+2(My-P3y)+2(My-P4y)=0
dF/dMx=2(Mx-P1x)+2(Mx-P2x)+2(Mx-P3x)+2(Mx-P4x)=0

Umstellen nach My bzw. Mx ergibt die Lösung:
My=(P1y+P2y+P3y+P4y)/4
Mx=(P1x+P2x+P3x+P4x)/4